Нарисуй не отрывая руки. Как и почему?

Наверно всем знакома эта игра, и в особенности центральная фигура. Кто-то ее называет "открытый конверт", кто-то "домик". И большинство (если не все) могут его нарисовать не отрывая руки, и даже не одним способом. Кто-то наверняка пробовал и закрытый конверт нарисовать, но как ни старался, по правилам его не удавалось нарисовать. Я один из них. Мне стало интересно, в чем же секрет. И я нашел ответ, а вместе с этим пару секретов и любопытных моментов.
Кому-то материал покажется очевидным, а для кого-то, может, покажется интересным, и одним вопросом станет меньше.

Рассмотрим самую распространенную фигуру "домик" или "открытый конверт". Когда-то я искал самые разные вариант решения этой задачки, но заметил, что успешные только те, которые начинаются с нижних углов. К тому же в этом случае любое движение было правильным (рисунок справа). Но стоит взять любую другую точку всегда остается хотя бы одна линия (рисунок посередине). Изучив в чем же особенность этих углов, я заметил, что нижние углы являются пересечением нечетного количества линий (далее "нечетная точка") (рисунок слева). И при этом начало лежит в одном, а конец всегда в другом углу.
Давайте перейдем к другой таинственной фигуре.

Из ранее обнаруженного можно сделать вывод, что в данном случае можно начать с любого угла, т.к. они все нечетные точки. Но как ни старайся остается хотя бы одна линия. Так в чем же проблема? Может их слишком много? А что будет, если нечетных точек не будет вовсе?

В данном случае я выяснил, что можно начинать откуда угодно. При этом начало и конец всегда в одной точке.
В результате я понял, что чтобы было решение - нечетных точек должно быть либо только 2, либо ни одной. Но почему?
Дело в том, что если в точке пересекается четное количество линий, значит ручка будет заходить и выходить в нее одинаковое количество раз. А если в пересечении - нечетное количество, значит входить или выходить из него ручка будет на один раз больше. И соответственно одна линия не может начинаться и заканчиваться несколько раз. Поэтому:
1) В "Закрытом конверте" 4 нечетные точки, и линия должна 2 раза начинаться и 2 раза заканчиваться. И поэтому невозможно по правилам нарисовать.
2) В "Открытом конверте" 2 нечетные точки, значит в одной нечетной точке она должна начинаться, а в другой - заканчиваться.
3) В "Раскрытом конверте" нечетных точек - нет, значит линия начинаться может в любой точке, но чтобы она была "четной", в ней линия должна и закончиться.