Задача про 7 Гномов для 8 класса (14 лет) из Всесоюзной Олимпиады Школьников по математике 1977 год
В связи с обилием задач типа "98% населения не могут решить...", а по факту 98% посетителей фишек решают влет, публикую еще одну реально сложную задачу про 7 Гномов :). Это математический пазл для 8 класса (14 лет по советской системе). Ответ и решение выложу позже в комментах :)
Источник:
За круглым столом сидят 7 гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает все свое молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает тоже самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и так далее. После того, как последний, седьмой гном разлил всем остальным свое молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько было в ней вначале. Во всех кружках вместе молока 3 литра. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?
Источник:
Посты на ту же тему
10 комментариев
8 лет назад
У седьмого была пустая кружка (ведь он все разлил).
А потом можно просто навскидку предположить, что разлив будет идти равными долями. Тогда у первого будет 6 долей, у второго 5, у третьего 4 и т.д. Тогда после разлива у следующего снова будет 6 долей, которые он и будет разливать. В итоге всего молока 6+5+4+3+2+1=21 доля, что составляет 3 литра.
Ответ: 6/7 литра, 5/7 литра, 4/7 литра, 3/7 литра, 2/7 литра, 1/7 литра и пустая кружка
Удалить комментарий?
Удалить Отмена8 лет назад
Удалить комментарий?
Удалить Отмена8 лет назад
Удалить комментарий?
Удалить Отмена8 лет назад
Пусть изначально было:
a
b
c
0
1-ое "разливание молока":
0
b + a/3
c + a/3
a/3
2-ое:
b/3 + a/3/3
0
c + a/3 + b/3 + a/3/3
a/3 + b/3 + a/3/3
3-е:
b/3 + a/3/3 + c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3
c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3
0
a/3 + b/3 + a/3/3 + c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3
Финал (вспоминаем, что получилось так как было, составляем уравнения):
b/3 + a/3/3 + c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 + c/3/3 + a/3/3/3 + b/3/3/3 + a/3/3/3/3 = a
c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 + c/3/3 + a/3/3/3 + b/3/3/3 + a/3/3/3/3 = b
a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 + c/3/3 + a/3/3/3 + b/3/3/3 + a/3/3/3/3 = c
Умножаем на 3:
b + a/3 + c + a/3 + b/3 + a/3/3 + a/3 + b/3 + a/3/3 + c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 = 3a
c + a/3 + b/3 + a/3/3 + a/3 + b/3 + a/3/3 + c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 = 3b
a/3 + b/3 + a/3/3 + c/3 + a/3/3 + b/3/3 + a/3/3/3 = 3c
Группируем:
a/3 + a/3 + a/3 + a/3/3 + a/3/3 + a/3/3 + a/3/3/3 + b + b/3 + b/3 + b/3/3 + c + c/3 = 3a
a/3 + a/3 + a/3/3 + a/3/3 + a/3/3 + a/3/3/3 + b/3 + b/3 + b/3/3 + c + c/3 = 3b
a/3 + a/3/3 + a/3/3 + a/3/3/3 + b/3 + b/3/3 + c/3 = 3c
Упрощаем:
a + a/3 + a/3/3/3 + b + 2b/3 + b/3/3 + c + c/3 = 3a
2a/3 + a/3 + a/3/3/3 + 2b/3 + b/3/3 + c + c/3 = 3b
a/3 + 2a/3/3 + a/3/3/3 + b/3 + b/3/3 + c/3 = 3c
Умножаем на 3:
3a + a + a/3/3 + 3b + 2b + b/3 + 3c + c = 9a
2a + a + a/3/3 + 2b + b/3 + 3c + c = 9b
a + 2a/3 + a/3/3 + b + b/3 + c = 9c
Упрощаем:
a/3/3 + 5b + b/3 + 4c = 5a
3a + a/3/3 + b/3 + 4c = 7b
a + 2a/3 + a/3/3 + b + b/3 = 8c
Ещё умножаем на 3:
a/3 + 15b + b + 12c = 15a
9a + a/3 + b + 12c = 21b
3a + 2a + a/3 + 3b + b = 24c
Упрощаем:
a/3 + 16b + 12c = 15a
9a + a/3 + 12c = 20b
5a + a/3 + 4b = 24c
И последний раз (получается система из 3-х уравнений с 3-мя переменными):
48b + 36c = 44a
28a + 36c = 60b
16a + 12b = 72c
Из первого вычитаем второе:
48b + 36c - 28a - 36c = 44a - 60b
т.е.
48b + 60b = 44a + 28a
108b = 72a
или
3b=2a
подставляем в третье:
16a + 12b = 72c
12b = 8a
16a +8a = 72c
24a = 72c
a = 3c
b= 2c
И, наконец, если c = 1, - получаем пропорцию:
a b c
3 2 1 0
Удалить комментарий?
Удалить Отмена