Уязвимость графического пароля

Жена усмехнулась и сказала, что подберёт. Я посмеялся в ответ, на том и разошлись. Только теперь её волновал вопрос, как подобрать, а меня какова вероятность этого события.

Самая первая и логичная мысль придумать математический способ вычисления комбинаций.
Нужно задать начальные условия:

Направление имеет значение
Каждую точку можно пройти лишь однажды
Для соединения двух точек они должны быть в прямой видимости. То есть первая может быть соединена пальцем со второй, но не с третьей.
Количество точек: от 5 до 9. Назовём один росчерк, одно соединение — хопом. То есть у нас может быть от 4 до 8 хопов.


Попытки влоб просчитать варианты математически не увенчались успехом. Накладываемые условия не позволили выявить правила.

Следующий шаг: перебор. Не то чтобы я надеялся перебрать все десятки тысяч вариантов. Основная мысль была — найти закономерности.
Я потратил на рисование схем несколько часов. Но все закономерности упирались в симметрию и то, что все угловые точки равнозначны, как и все промежуточные (кроме центральной).

Но когда нас пугали трудности?
Начал я всё-таки с одного хопа.

1 хоп — проще пареной репы — 56 вариантов,
2 хопа — ничего сложного — 320 вариантов
3 хопа — пришлось потрудиться — 1624 варианта
4 хопа — это было, кхм, утомительно — 7152 варианта
5 хопов — мама миа и вырванные волосы — результат неизвестен.

Дальше я уже решил не насиловать свой мозг и вспомнить давно забытое программирование.

Расчехлил турбопаскаль, стряхнул пыль с переменных и начал разрабатывать алгоритм.
После 4 лет паузы и простеньких скриптов на баше мне потребовался целый вечер на отладку программы. Даром, что алгоритм родился минут за 20.

Вот вывод количества вариантов для каждого количество хопов. Как видно, с 1 по 4 цифра совпадает с практическими рассчётами, а при количестве хопов больше 8 — путей нет, что логично.

Паскаль имеет ограничение в 64 кБ на размер массива. Поэтому массив даже из Byte в несколько десятков тысяч элементов невозможен. Заморачиваться с динамическим выделением памяти или записями не хотелось, поэтому просчитать сами пути в подробностях можно только до 4 хопов:

UPD. при расчёте прежде не была учтена возможность проходить сквозь уже использованную точку.
В новой версии баг исправлен.

Это результат для последовательности 11-22-31-32-12:

И вот долгожданный результат:

Итак, 389488 возможных вариантов.
Даже если из них исключить 50% извращённых вариантов, которые не каждый человек, лишённый шизофрении, сможет с первого раза набрать (впрочем, зачем шизофренику андроид), остаётся 194744 вариантов

Андроид даёт 20 попыток, после которых блокирует телефон.

Итак, 20/194744=,0001. То есть, вероятность 0,01%. Одна сотая процента!

“Ну-ну” — сказал я жене, показывая расчёты. “Ну-ну” — сказала мне жена, показывая разблокированный телефон.