Какое число – самое большое?

Корректно ответить на этот вопрос нельзя, поскольку числовой ряд не имеет верхнего предела, а значит, теоретически запись числа на бумаге или экране компьютера может состоять из бесконечно долгого ряда цифр.
1. Буддийское число "Асанкхейя", которым исчисляется количество космических циклов, необходимых для обретения нирваны. 10 в 140 степени, то есть единица со 140 нулями.
2. "Гугол", 10 в 100 степени, единица и сто нулей. Автор – 9 летний Милтон Сиротта, племянник математика Эдварда Казнера, во время совместной прогулки в парке.

Есть и Гуголплекс. 10 в степени Гугол . Был придуман практически одновременно с со словом "Гугол".
Уже не очень интересно, ведь само слово - это всего лишь производное от емкого слова "Гугол". Это как придумать Миллиард, а потом – Очень большой Миллиард.
Достоверно известен случай, где все-таки был использован Гуголплекс:
Эммет Браун в "Назад в будущее" о Кларе: «… она одна на миллион, одна на миллиард, одна на гуголплекс…».

Книга рекордов Гиннеса записала именно его как самое большое число.

Математик Рональд Грэм решал большую задачу. Основа задачи – N-мерный куб, с диагоналями, раскрашенными для удобства рассуждений в 2 цвета – красный и синий.
Нужно было определить, в каком пространстве N-измерения выполняется определенное условие задачи.
В итоге Грэм (или Грэхем, англ. Graham) получил ответ не с самим значением N, а доказал, что хотя бы один ответ есть, и определил границы интервала, где этот ответ находится – от числа 6 до Верхней границы интервала.
* Позднее нижняя граница сдвинулась, и теперь равна 13. То есть этот кусочек, от 6 до 13, проверили, не нашли.
Так вот, эта самая Верхняя граница – это и есть то самое "число Грэма".

Сам Грэм никак его не назвал – он просто сообщил, что верхняя граница интервала в его решении рассчитывается по определенной им формуле. И все.
И, может быть, так бы этот расчет и остался бы известен только математикам, если бы не замечательный популяризатор науки Мартин Гарднер.
Мартин Гарднер обратил внимание, что в одной из математических работ появилась величина невообразимо фантастического размера. В журнале Scientific American он и назвал ту самую величину «Числом Грэма». "… Грэм установил … границу настолько большую, что ей принадлежит рекорд как наибольшему числу, когда-либо использовавшемуся в серьёзном математическом доказательстве".

По мере роста используемых чисел появлялись и новые обозначения записи действий над этими числами. Сначала – степень, затем – степень в степени, затем – появилась башня степеней, которая становилась все больше и больше.
В 1976 математик Дональд Кнут, кстати, плотно сотрудничавший с Грэмом, предложил новый метод для записи очень больших чисел, названный потом «стрелочная нотация Кнута».
Картинка с описанием формулы расчета G(64) – как раз с использованием «стрелочной нотации».

Уже несколько стрелок – это башня башен степеней. Переход на каждый уровень – это резкий рывок в изменении масштаба. Верхние уровни - абсолютно фантастичны.
64 уровня числа Грэма вложенных башен башен … башен степеней – это за гранью воображения.

Про Гугол или Асанкхейя мы можем точно сказать, чему они равны и как выглядят. Все цифры, от первой до последней – на виду.
Как выглядит точно G(64) - неизвестно.
То есть сразу было известно, какие математические действия нужно сделать, но вот сам итоговый результат, с цифрами от первой до последней – неизвестен.
Пока не хватает компьютерных ресурсов.
** Кстати, последние 500 цифр известны. Это объяснимо. Например, 17 * 18 = 306. Добавим по миллиону и пересчитаем: 1 000 017 * 1 000 018 = 1 000 035 000 306. Последние цифры 306 можно увидеть без большого миллионного расчета, они уже не изменятся, сколько бы миллиардов не добавилось потом в начале чисел.
Буддисты переводят «Асанкхейя» образно как «Неисчислимое». «Число Грэма» - не исчислимое сейчас в буквальном смысле.

10 в 51 степени атомов составляют планету Земля.
10 в 80 = примерное количество элементарных частиц в Обозримой Вселенной.
Обозримая Вселенная – по разным оценкам, от 45 до 93 миллиардов световых лет. Световой год – расстояние, которое можно пройти-пролететь, двигаясь со скоростью света, 300 000 км в секунду.
10 в 100 — это наш Гугол. В общем-то, число ничего физически не значит, просто круглое и четко произносится.
10 в 122 степени протонов понадобится, чтобы заполнить ими Обозримую Вселенную. Заполнить плотно, без пустот между ними.
Увеличим эти 10 в 122 степени в миллиард миллиардов раз и как раз получим Асанкхейя.

Возьмем самые маленькие цифры и самое большое место для записи.

«Планковская длина» = 1,6 * 10 в минус 35 степени метра - это самая маленькая физически осмысленная величина. Это 0,00000000000000000000000000000616199 метра.
Пусть каждая цифра будет размером с эту самую крохотнейшую величину – «кубик Планка», то есть кубик со стороной в длину Планка.

Возьмем самое большое место для записи – всю нашу Вселенную, как ее видят-измеряют астрономы. Не Солнечную систему, не Галактику, а вообще известную Вселенную со всеми галактиками. Миллиарды световых лет. Миллиарды галактик.
Так вот, в Обозримой Вселенной помещается 10 в 185 степени планковских кубиков.

Многочисленные расчеты числа Грэма на его нижних уровнях показывают – расчеты верхних уровней пока недостижимы - что, если его писать даже таким образом, самыми наимельчайшими планковскими цифирочками, оно уверенно выходит за пределы нашей Вселенной.
Причем каждый последующий уровень – это сверхгигантское увеличение этой штуковины.
То есть сейчас неизвестно не только значение этого монстра, но и даже сколько в нем вообще окажется цифр.

которые уже засветились на публике?
Вот есть распиаренное «Число Грэма».
Значение неизвестно, даже сколько в нем знаков - неизвестно, написать его обычным образом – невозможно.
Даже не хочется называть его числом в обычном смысле.
Не наше оно, не из нашей Вселенной штуковина.
В расчетах Рональда Грэма это была верхняя граница интервала.
Вспомним, что написал и Гарднер: «Грэм установил границу настолько большую …».
Лучше бы это так и осталось – не как некоторое практически непостижимое число, а именно Верхняя граница математически осмысленного, на тот момент, мира.