Про кубичность футбольных мячей доступным языком

Поверхность классического футбольного мяча состоит из «слегка искривлённых» 12 правильных пятиугольников чёрного цвета и 20 правильных белых шестиугольников.

Кстати, «классическим» такой мяч был не всегда: впервые такие покрой и раскраска были использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 году в Мексике. Чёрно-белая раскраска тогда была выбрана из соображений контрастности, чтобы мяч был лучше виден на преобладавших в то время чёрно-белых телевизорах. Да и само название – Telstar – он получил в честь телевизионного спутника. В последующие годы раскраска официальных мячей менялась, но покрой оставался неизменным вплоть до чемпионата 2002 года.

С точки зрения математики, классический футбольный мяч является усечённым икосаэдром. Этот факт и теория групп, порождённых отражениями, позволяет сделать простую в изготовлении, но красивую модель, которую можно продемонстрировать друзьям.

Для модели понадобится три треугольных зеркала указанных на первой картинке размеров, изолента (скотч) для их скрепления, а также раскрашенный в два цвета равносторонний треугольник. Затратив немного времени на склеивание зеркального трёхгранного угла, вы получите возможность вложив в него раскрашенный треугольник увидеть модель классического футбольного мяча! При покачивании модели относительно оси зрения картинка меняться не будет.

Зеркальные равнобедренные треугольники проще всего вырезать из пластика с зеркальным напылением. Если у вас нет возможности сделать модель – можете посмотреть видео.

Что же это за такой магический зеркальный угол, в котором при отражениях виден футбольный мяч? (А на самом деле – икосаэдр, который виден ещё более явно, если вложить одноцветный треугольник.)

Зеркальный угол связан с самим икосаэдром: его вершина расположена в центре икосаэдра, а зеркала проходят через стороны одной из граней икосаэдра. Отсюда получаются и условия на стороны равнобедренных треугольников, образующих зеркальный угол. А то, что картинка в таком зеркальном угле будет икосаэдром, гарантирует теория групп, порождённых отражениями.

Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развёртки. Поэтому, какую модель мяча не взять, её необходимо раздувать. А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? (Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)

После 2002 года начались эксперименты и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии, состоялась премьера нового официального мяча получившего название Brazuca.

Модель этого мяча более сферическая, чем классическая. Но при этом Brazuca – это куб!

Как и куб, она собирается из 6 одинаковых плоских панелей имеющих по четыре угла, у неё 8 вершин, в каждой из которых сходится по 3 панели.

В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. В Brazuca у каждой панели все четыре угла равны 120 градусам, а в вершинах модели встречаются три угла и значит сумма углов вокруг вершины равна 360 градусов: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».

Куда же делась кривизна? В модели бразуки кривизна размазана по длинным рёбрам и из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере.

Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года – тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками.