Хотя: где запятая, перед или после? Хотя бы - вводное слово или нет?

Хотя - уступительный или противительный союз, реже частица. «Хотя» не является вводным словом, поэтому не нужно обособлять его запятыми с двух сторон.

Запятая чаще всего ставится перед союзом «хотя».

Первый случай - когда союз стоит в начале придаточной части сложного предложения:

• Профессор поставил «отлично», хотя студент и ошибся в последнем вопросе.

• Было уже очень жарко, хотя солнце только встало.

• Мы выезжаем завтра, хотя поездка все еще может сорваться в последний момент.

• Я его понял, и он за это меня не любит, хотя мы наружно в самых дружеских отношениях. (М.Ю. Лермонтов, «Герой нашего времени»)

Второй случай - когда союз стоит между однородными членами предложения:

• Он успел на поезд, хотя вышел из дома с опозданием.

• Чемодан был тяжелый, хотя и небольшой.

В случае, когда однородные соединяются двойными союзами (хотя… но), запятую нужно ставить лишь перед второй частью союза:

• Я был хотя и не во всех, но во многих странах мира.

• Это было хотя и неприятно, но не смертельно.

И хотя. Когда нужна и не нужна запятая на стыке двух союзов

В большинстве случаев запятая между союзами «и» и «хотя» не нужна:

• И хотя гонка еще не закончилась, победитель был уже понятен.

• И хотя мы не знаем, кто такой принц Уэльский, мы понимаем, что в нашем классе он никак не может появиться. (Фазиль Искандер. «Тринадцатый подвиг Геракла»)

• Небо было высоким, и хотя казалось оно еще тускло-зеленоватым, но на горизонте уже ползла и разливалась светло-розовая полоса, как будто над горами медленно раскрывалась огромная перламутрица. (Юрий Домбровский. «Хранитель древностей»)

Запятая ставится, если союзы относятся к разным частям сложного предложения, то есть придаточная часть с одиночным союзом «хотя» оказывается внутри другой части.

• А женщина все говорила и говорила о своих несчастьях, и, хотя слова ее были привычными, у Сабурова от них вдруг защемило сердце. (Константин Симонов, «Дни и ночи»)

• И, хотя усталость еще не прошла и силы не вернулись, он не мог не потянуться к ней снова, прижавшись губами и горячим повлажневшим лбом. (Георгий Владимов. «Генерал и его армия»)

Подробнее о постановке запятых на стыке двух союзов и о сложных случаях можно почитать в справочнике Розенталя.

Хотя бы. Запятые не нужны, это не вводная конструкция

«Хотя бы» - частица, не является вводной и сама по себе не обособляется.

• Дайте мне хотя бы один шанс!

• Не мешайте ему хотя бы минуту.

• Для начала мы хотя бы немного отдохнем.