развод со стороны дежурного ОМ тут тоже присутствует. "На вопрос что делать, говорит, что зря я позвонил в службу «112» так как придется заводить дело (их контролируют), а это реально муторно и светит 10 дней без машины плюс перерегистрация ТС"
1. Автомобиль в этом случае не изымается, в протоколе осмотра места происшествия дежурным дознавателем СОГ делается отметка, что автомобиль не изымался, могут (но это не обязательно) взять расписку от владельца авто, что автомобиль передан ему на ответственное хранение.
2. Перерегистрация авто не требуется в этом случае!!!
Итог: кругом развели.

Была у меня подобная история.
Приехал тесть в гости, выходим с утра, а номеров у него нет и записка типа "Помощь в поиске номеров и телефон" тесть звонить стал, а я по округе прошелся. Поскольку если ваши номера не увезли, то спрятали где то поблизости. Обычно это сугробы щели водосточные трубы и т.д. в общем проверить все подозрительные места в радиусе 20 метров надо. Номера нашлись в водосточной трубе их там подперли пакетом с каким то мусором чтоб не упали. А тестю по телефону назвали сумму 3000 рублей, так что пивом он меня поил основательно.
А теперь насчет заявлять или нет. Я считаю что заявлять однозначно, сейчас объясню почему:
1. Подобные фокусы с номерами пошли от угонщиков машин, они угоняли одну машину, а номера ставили на нее от другой. Так что во первых вас могут обвинить в соучастии, а во вторых не известно какие правила машина с вашими номерами нарушит, и какие письма счастья вам придут. Получить же с вас деньги это просто приятный бонус.
2. Что не так с дубликатами? Да может все и так, но подделка гос номера является правонарушением и если у фирмы сделавшей вам дубликат нет лицензии и специальных материалов то этот дубликат вы можете повесить разве что в гараже на стенку. Причем сотрудники фирмы разведут руками и скажут - А мы думали он их на брелок делает. И с них взятки гладки. Это дубликат, а не оригинал! Вас оштрафуют даже за то что вы просто подкрасили номер, если конечно увидят.
3. Почему сотрудники полиции рекомендовали вам не заводить дело?
Все просто, во первых им глубоко безразличны ваши возможные трудности. Во во вторых с советских времен у них есть план по раскрытию, а ваше дело это заведомый висяк, Оно им надо?

Мое мнение звонить в 112 и писать заявление, благо сейчас получить номер можно в любом отделении ГИБДД, а не только по месту приписки.

P.S. Когда оставляю машину на ночь в незнакомом месте особенно если это другой регион, то либо прижимаю передний номер в впритык к стене, либо снимаю его.