Чисто как в геометрии - произведение длины на ширину

Ошибаешься. Не все так просто. Эта формула имеет доказательство с использованием свойств бесконечно малых. Причем оно приведено в школьном учебнике по геометрии за 10-11 класс под ред. Атанасяна.
Если речь о произведении двух величин - бесконечно малой и бесконечно большой, то ответ не определен. Раскрытие неопределенности зависит от вида этих величин.

Немного не понял первую часть, там, кажется, что-то пропущено.

Не определена, это интересный вариант. У нас мнения разделились, часть говорило, что так как ширина является числом отличным от нуля, пусть и бесконечно малым, то произведение на бесконечно большое число должно дать какую-то ненулевую величину, которая, по логике будет бесконечностью. Другая часть говорила, что если абстрагироваться от чисел, то такой прямоугольник стремится к линии, т.е. и его площадь должна стремиться к линии, а площадь линии это ноль.

Интересный вариант предложил один инженер. Довольно красивое "решение". Он сказал, что данный прямоугольник можно представить конечным, обычным, прямоугольником, свернуть его трубочкой и получить цилиндр. Далее - у цилиндра диаметр постоянный, а высота меняется. Факт того, что обе стороны меняются в изначальном условии перенести на то, что высота меняется на основании двух переменных. Например если b удлинить в 10 раз, то т.к. a*10b=10*ab просто увеличить высоту в 10 раз, площадь по-любому будет правильная. И, что самое интересное, при такое визуализации, как он правильно заметил, площадь прямоугольника, при условии что обе стороны меняются пропорционально, постоянна, т.е. при удлинении в 10 раз одной стороны и уменьшении в 10 раз другой имеем 0.1a*10b=ab .. Как следствие площадь такого гипотетического прямоугольника может быть реальным числом, а не обязательно должна быть нулем или бесконечностью...
В конце мы просто забили на это, ибо хз))

Что ж, неопределенна это вариант. И идея с цилиндром, судя по всему, была наиболее близка к этому.

у этой задачки недостаточно данных, так что ответ - может получиться что угодно. чтобы получилось что-то конкретное, надо знать, как именно каждый из них стремится.