Брахистохрона

все работает, до момента набора высоты. Там уже начинаются другие моменты

да, и в момент номер 2 он уходит намного вперед. Но отрыв сокращается, когда он начинает набирать высоту.

Красный, на всем участке движения, не набирает высоту. Это ключевой фактор. Набор высоты требует гораздо больших затрат, чем просто движение вперед или вниз. При этом горизонтальный вектор движения заметно сокращается, как следствие горизонтальная скорость сильно падает, что позволяет красному сократить разрыв, т.к. у него практически вся скорость является горизонтальной.

Ускорение при снижении влияет на вертикальную скорость. За счет давления воздуха и положения закрылок оно немного может увеличивать и горизонтальную скорость. Но вот в момент подъема двигатели должны расходовать энергию на подъем самолета, как следствие горизонтальная скорость падает.
Можно даже привести пример. Если самолету надо переместиться на 500км по горизонтали, то летя прямо он, возможно, немного отстанет от самолета, который летит снижаясь. Но он пролетит намного быстрее самолета, который на протяжении всего пути набирает высоту.

Вы помните векторную алгебру со школьного курса физики? В начале самолет летит прямо со скоростью, грубо 500км/ч, в пике его скорость составляет 800км/ч. Но 800км/ч это суммарная скорость вертикальная+горизонтальная. Зная, что угол между векторами 90 градусов, получаем вертикальную скорость равную корню из разности квадратов суммарной и горизонтальной скоростей, т.е. 624.5км/ч. Как следствие средний угол пикирования равен 51 градусу, что не очень похоже на правду. По виду угол там меньше, по крайней мере в начале, но данная модель является крайне грубой, она здесь исключительно для примера. И в ней одним из условий является то, что горизонтальная скорость неизменна, но по факту она меняется, но главное, эти 800 км/ч суммарная скорость, а не горизонтальная. Горизонтальная скорость самолета, в данном пример, как я уже заметил, не меняется и все время равна 500км/ч.
А горизонтальная скорость это и есть то, что отвечает за разрыв в месте встречи.

Как следствие, в крутом пике увеличивается, в первую очередь, суммарная скорость и заметно вырастает путь. Выигрыш в горизонтальной скорости "съестся" энергозатратами на подъеме. На видео, обратите внимание, он начал с высоты более 5км а при наборе потерял всю скорость не долетев даже до 2км, при этом он все еще поднимался, т.е. его горизонтальная скорость, в этот момент, была ниже начальных 500км/ч.

да, видел и слушал. Там четко сказали, если объекту, который двигается по кратчайшей траектории, придать ускорение, он придет первым. У самолетов есть двигатели, поэтому, в отличии от роликов в эксперименте, красный самолет двигается равномерно, т.е. с постоянной скоростью. Синий тоже имеет двигатель, но из-за маневра его горизонтальная скорость постоянно меняется и в конце становится меньше начальной, т.е. происходит торможение.

Да и сам первый маневр это скорее парабола, а не циклоида. Вот второй пример, напротив, гораздо ближе к циклоиде. И там нету фазы подъема, которая съедает всю скорость.