Сейчас узнаем, кто из нас жертва ЕГЭ

На этой известной картине изображён реальный человек. Это профессор Московского университета Сергей Александрович Рачинский.

В 70-х годах XIX века Рачинский неожиданно бросил карьеру, жильё в Москве и приличное профессорское жалование – и уехал в село Татево в Тверской области, чтобы преподавать математику крестьянским детям.

Кстати, автор картины, художник Николай Богданов-Бельский, был одним из учеников Сергея Александровича. А какую же задачу они решают? Давайте присмотримся...

Попробуете сделать то же самое, что делали крестьянские дети в конце позапрошлого века – решить эту задачу «в уме»? Подумайте! А пока ещё одна задачка – от писателя Антона Павловича Чехова.

В его рассказ «Репетитор» семиклассник Зиберов занимается с Петей Удодовым, готовя его к поступлению во второй класс гимназии. Там есть весьма любопытная задача...

«Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?»

Попробуем решить её так, как учит современный учебник алгебры. Пусть x – количество купленного синего сукна, а y – количество купленного чёрного сукна. Тогда составляем систему уравнений:

5x + 3y = 540
x + y = 138

Собственно, семиклассник Зиберов об этом догадывается:

– Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, — говорит он. — Ее с иксом и игреком решить можно.

Однако вот что интересно! В рассказе папа будущего второклассника Пети, купец Удодов, решает эту головоломную задачу без алгебры!

– И без алгебры решить можно, — говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.
– Вот, извольте видеть...Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
– Вот-с... по-нашему, по-неученому.

Получается, что задача всё-таки арифметическая? Что её можно решить, обладая знаниями на уровне второго класса? Попробуйте догадаться, как купец Удодов решил задачу, не глядя в дальнейший текст...

Решение первой задачи

Итак, сначала разберём задачу профессора Рачинского. Решить эту задачу можно несколькими способами. Нам нравится красивое решение через арифметическую прогрессию: известно, что квадраты чисел 10, 11, 12, 13 и 14 отличаются друг от друга на числа, образующие прогрессию с разностью 2 – то есть 21, 23, 25 и 27. Поэтому

Ну а дальше делим 730 на 365 и получаем в ответе 2. Однако самое простое решение – через так называемые «последовательности Рачинского». Это красивое арифметическое открытие Сергей Александрович совершил самостоятельно и широко использовал для составления таких вот хитрых задач. Оказывается, что:

И так далее. В частности, сумма во второй строке равна 365. Тогда в задаче на картине на доске сверху в дроби, по сути, записано 365 + 365, а делим мы это всё на 365 – то есть в ответе получаем 2 буквально за считанные секунды!

Решение второй задачи

Предположим, что купец купил только синее сукно, все 138 аршин. Тогда он заплатил бы 138 х 5 = 690 рублей. А он заплатил только 540. Почему?

Потому что он купил не только дорогое синее сукно, но и более дешёвое чёрное. Разница в деньгах составляет 690 – 540 = 150 рублей.

А разница в цене между синим и чёрным сукном составляет 5 – 3 = 2 рубля. Делим 150 на 2 и получаем 75 аршин чёрного сукна.

Ну а оставшегося синего – совсем просто: 138 – 75 = 63.