Как на самом деле возникают гравитационные волны?

В рамках ОТО гравитация вообще не взаимодействие, а искривление пространства-времени.

Во картинок нашёл (это именно иллюстрации для понимания, не точные модели).

Солнце не может просто так взять и мгновенно исчезнуть. Это против всяких правил (читай законов физики).

Есть тут настоящие физики? Объясните нам малограмотным что к чему.

По порядку.
Во-первых, гравитация это именно взаимодействие. Одно из четырех фундаментальных взаимодействий! И ОТО этот факт не оспаривает. Еще раз, аналогия с резиновым матом (или ковриком, как хотите) это просто двумерная иллюстрация явления, которое на самом деле трехмерное.
Во-вторых, вторая картинка как раз демонстрирует распространение гравитационных волн в следствие потери гравитационной энергии при сближении двух массивных объектов вокруг друг друга. Потеря гравитационной энергии происходит и при вращении Земля и других планет вокруг Солнца. Но из-за того, что гравитационные силы очень слабы, зафиксировать эту потерю даже самыми современными приборами практически невозможно.

А если нет вращения? Можно представить тело с массой земли, которое находится на достаточном удалении от других тел; таком, что на него не действует их гравитация и оно [тело] движется прямолинейно и равномерно или покоится? И вот на это тело "упало" другое, сравнимое по массе с человеком. Гравитация между ними возникнет?

Дело не просто во вращении. Вращение дает дополнительное ускорение и усиливает потерю гравитационной энергии. Но волны исходят при любом сближении.
Если одно тело упало на другое, то это произошло скорее всего в результате гравитационного притяжения (ну, если только в другом варианте первое тело не направили специально на второе). Как бы то ни было, при любом сближении тел их гравитационное взаимодействие (взаимная сила) будет увеличиваться согласно закону обратных квадратов, который еще Ньютон открыл. При любом гравитационном сближении будут распространяться гравитационные волны. Повторю, гравитация очень слабая сила. Поэтому зафиксировать волны от падения человека или яблока на Землю для нас технологически невозможно. Погрешность измерения выше, чем величина силы (поэтому эти волны и удалось измерить только от сближения сверхмассивных тел, массой в миллионы солнечных).
Еще один момент, для понимания гравитации: когда яблоко падает на Землю, то Земля в свою очередь тоже "падает" на яблоко. Проще говоря они притягиваются друг к другу. Просто скорость встречного движения пропорциональна массе, поэтому если яблоко упадет с трех метров, Земля "упадет" на яблоко на расстояние в минус огромной степени метра.
И на опережение, если вдруг Вам не нравятся идеи Ньютона, но нравится ОТО. Законы Ньютона это частный случай ОТО. Эти теории не противоречат друг другу. Если подставлять в формулы Эйнштейна те размерности масс, скоростей и расстояний с которыми люди были знакомы в 17 веке, то получаются именно ньютоновские выводы.

Всё, о чём вы написали, мне понятно. С этим нет смысла спорить. От меня ускользает только один момент: являются ли гравитационные волны именно тем, что мы ощущаем, как земное притяжение или же это разные сущности. Я всегда считал, что разные: эффект притяжения - это локальное искривление пространства-времени, а ГВ - распространение искривления в пространстве-времени.

Теперь вы заставили меня сомневаться. Надо букварь какой-нить почитать...